Образовательная программа/кафедра «Квантовая теория поля, теория струн и математическая физика» была основана в 2017 году на базе ФОПФ МФТИ, однако исторически она тесно связана со школой Квантовой теории поля Института теоретической физики им. Ландау.

Исходно группа возникла в начале 70-х годов из студентов и аспирантов таких выдающихся физиков-теоретиков того времени, как А. Б. Мигдал, И. Я. Померанчук, В. Н. Грибов, Л. Б. Окунь и К. А. Тер-Мартиросян, в большинстве своем являющихся сотрудниками Института экспериментальной и теоретической физики. ИТФ им. Ландау, созданный в 1964 году учениками Ландау, изначально ограничивался исследованиями в физике твердого тела. Однако, благодаря инициативе директора ИТФ И. М. Халатникова, имеющего широкие взгляды на теоретическую физику, в Институте начали появляться и другие направления: квантовая теория поля, астрофизика, физика плазмы, а также фундаментальная математика.

Группа квантовой теории поля фактически была создана новыми сотрудниками А. А. Мигдалом и А. М. Поляковым (лауреат премий Онзагера, премии по фундаментальной физике, медали Дирака и др.), а также впоследствии А. А. Белавиным (лауреат премии Онзагера, премии Померанчука и др.), А. Б. Замолодчиковым (лауреат премии Онзагера, премии Померанчука, медали Дирака и др.), Е. Б. Богомольным, В. А. Фатеевым, П. Б. Вигманом (лауреат премии Онзагера) и Б. Л. Фейгиным. Важную роль в формировании школы квантовой теории поля ИТФ им. Ландау сыграли такие физики-теоретики и математики как А. С. Шварц, В. Г. Дринфельд, А. А. Бейлинсон, В. Г. Книжник, С. Л. Лукьянов, Вл. С. Доценко, Ал. Б. Замолодчиков и др. Научный стиль сектора квантовой теории поля был выработан в тесном взаимодействии с сотрудниками Института А. И. Ларкиным, В. Л. Покровским, В. Л. Березинским, С. П. Новиковым и Я. Г. Синаем, а также с Ленинградской школой математической физики под руководством Л. Д. Фадеева.

Школе квантовой теории поля Института теоретической физики им. Ландау принадлежат фундаментальные результаты в современной теоретической и математической физике, внесшие важнейший вклад в науку, многие из которых вошли в учебники:

• Теория фазовых переходов и квантовая теория поля, идея конформного бутстрапа:

  Основываясь на гипотезе скейлинга и универсальности высказанной Кадановым [1], Паташинским и Покровским [2], был предложен теоретико-полевой подход к анализу фазовых переходов второго рода в моделях статистической механики (А. А. Мигдал [3,4], А. М. Поляков [5]). Важным шагом в развитии этой идеи была гипотеза о конформной инвариантности критических явлений, высказанная Поляковым [7]. В работе [8] было предложено строить решения конформной теории поля, комбинируя условие конформной инвариантности и гипотезу об операторной алгебре локальных полей, сформулированную независимо Кадановым [9], Поляковым [7] и Вильсоном [10].

  [1]  L. P. Kadanoff, Critical vehavior, universality and scaling, Proc. Int. School Phys., New York – London, Cousre L.I., Acad. Press, 1971.
  [2]  А. З. Паташинский, В. Л. Покровский, Флуктуационная теория фазовых переходов, М.: Наука, 1981.
  [3]  В. Н. Грибов, А. А. Мигдал, Сильная связь в задаче о полюсе Померанчука, ЖЭТФ, 55 (1968) 1498.
  [4]  А. А. Мигдал, Диаграммная техника вблизи точки Кюри и фазовый переход второго рода в Бозе жидкости, ЖЭТФ 55 (1969) 1964.
  [5]  А. М. Поляков, Микроскопическое описание критических явлений, ЖЭТФ, 57 (1969) 271.
  [6]  А. М. Поляков, Свойства далеких и близких корреляций в критической области, ЖЭТФ, 59 (1970) 542.
  [7]  А. М. Поляков, Конформная симметрия критических флуктуаций, Письма в ЖЭТФ, 12 (1970) 538.
  [8]  А. М. Поляков, Негамильтонов подход к конформной квантовой теории поля, ЖЭТФ, 66 (1974) 23.
  [9]  L. P. Kadanoff, Operator algebra and the determination of critical indices. Phys. Lett. 23 (1969) 1430.
  [10]  K. Wilson, Non-lagrangian models of currents algebra, Phys. Lett. 179 (1969) 1499.

• Топологические методы в квантовой теории поля, монополи и инстантоны:

  В 1975 г. Белавин, Поляков, Шварц и Тюпкин обнаружили инстантоны в Теории Янга-Миллса [3]. Это локализованные евклидово-пространственные решения уравнений Янга-Миллса топологической природы, которые служат седловыми точками в функциональном интеграле. Вклад инстантонов существенно непертурбативен. Инстантоные решения раскрывают топологические свойства вакуума, что приводит к пониманию того, что квантовая калибровочная теория включает в себя дополнительный параметр, так называемый тета-угол, который невидим в теории возмущений, но важен для понимания симметрии и динамики теории.

  Открытие инстантонов привело, в частности, к решению так называемой U(1) проблемы в КХД, пролило свет на проблему нарушения СР инвариантности в теории сильных взаимодействий и может привести к решению проблемы конфайнмента. Современное понимание теории Янга Миллса, и особенно ее суперсимметричных версий, было бы невозможно без из понятия инстантонов. Инстантоны и топологические сектора существуют во многих других квантовых и статистических системах. Например, инстантоны в O(3) сигма-модели, открытые Белавиным и Поляковым в 1975 году, играют роль в разрушение дальних корреляций.

  С другой стороны, открытие инстантонов и уравнения самодуальности дало поразительный пример того, как топология (то есть, например, понятие класса Понтрягина) может быть полезно в физике. Развитие науки с 1975 продемонстрировал важность уравнения самодуальности и в физике и в математике (например, теория Дональдсона в топологии); это уравнение все еще является областью активных исследований.

  В работе Белавина и Захарова [8] и независимо в статье Атьи и Уорда была открыта глубокая связь между инстантонами и комплексной геометрией. А именно, было показано, что инстантон на четырехмерной-сфере по существу то же самое, что голоморфное векторное расслоение на трехмерном комплексном проективном пространстве с некоторыми дополнительными свойствами. Эти работы показали, что можно классифицировать инстантоны, используя методы алгебраической геометрии. Этот подход привел к полной классификации инстантонов в статье Атьи, Дринфельда, Хитчина и Манина [9].

  [1]  А. М. Поляков, Спектр частиц в квантовой теории поля, Письма в ЖЭТФ, 20 (6), 430-433 (1974), PDF.
  [2]  А. М. Поляков, Изомерные состояния квантовых полей, ЖЭТФ, 68 (6), 1975-1990 (1975).
  [3]  A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. S. Schwartz, Yu. S. Tyupkin, Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equations, Phys. Lett. B 59 (1), 85-87 (1975) PDF.
  [4]  А. А. Белавин, А. М. Поляков, Метастабильные состояния двумерного изотропного ферромагнетика, Письма в ЖЭТФ, 22(10), 503-506 (1975) PDF.
  [5]  Е. Б. Богомольный, Устойчивость классических решений, Ядерная физика, 24(4), 861-870 (1976).
  [6]  A. A. Belavin, A. M. Polyakov, Quantum fluctuations of pseudoparticles, Nucl. Phys. B 123 (3), 429-444 (1977), PDF.
  [7]  V. A. Fateev, I. V. Frolov, A. S. Schwarz, Quantum fluctuations of instantons in the nonlinear σ model, Nucl. Phys. B 154 (1), 1-20 (1979), PDF.
  [8]  A. A. Belavin, V. E. Zakharov, Yang-Mills equations as inverse scattering problem, Phys. Lett. B 73 (1), 53-57 (1978), PDF.
  [9]  M. F. Atiyah, N. J. Hitchin, V. G. Drinfeld and Y. I. Manin, Construction of Instantons, Phys. Lett. A65, 185 (1978), PDF.

• Теория струн, теория Лиувилля:
  [1]  A. M. Polyakov, Quantum geometry of bosonic strings, Phys. Lett. B 103 (3), 207-210 (1981) PDF.
  [2]  A. M. Polyakov, Quantum geometry of fermionic strings, Phys. Lett. B 103 (3), 211-213 (1981) PDF.
  [3]  V. G. Knizhnik, Covariant fermionic vertex in superstrings, Phys. Lett. B 160 (6), 403-407 (1985) PDF.

• Конформная теория поля, минимальные модели, теория представлений алгебры Вирасоро:

  В работе Белавина, Полякова и Замолодчикова [1] был предложен общий подход к изучению двумерных конформных квантовых теорий поля. В данной работе была введено понятие конформного блока и предложены методы его вычисления. Построен бесконечный набор точно решаемых нетривиальных моделей двумерной квантовой теории поля, так называемых «минимальных моделей». Существенным продвижением данной работы было, в частности, прояснение факта, что пространство состояний двумерных конформных теорий поля описывается с помощью бесконечномерной неабелевой алгебры динамической симметрии – алгебры Вирасоро. Это позволило классифицировать поля в двумерной конформной квантовой теории поля, задействовав аппарат теории представлений алгебры Вирасоро, развитый Фейгиным и Фуксом [2].

  Кроме важности конформной теории поля для теории струн и статистической физики, следует подчеркнуть ее важность для теории представлений, особенно для теории представлений бесконечномерных алгебр Ли, таких как Кац-Муди и Алгебры Вирасоро. В частности, знание этой работы было очень важно для работы Каждана и Люстига, связанные с теорией представлений алгебры Каца-Муди с квантовыми группами. Работа Белавина, Полякова и Замолодчикова также привела к математической теории алгебр вершинных операторов и затем к геометрическому варианту этой теории, разработанной Дринфельдом и Бейлинсоном под названием теория киральных алгебр. Киральные алгебры в настоящее время являются одним из основных инструментов, используемых в геометрической программе Ленглендса.

  [1]  A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. B. Zamolodchikov, Infinite Conformal Symmetry in Two-Dimensional Quantum Field Theory, Nucl. Phys. B241 (1984) 333 PDF.
  [2]  B. L. Feigin and D. B. Fuchs, Representations of the Virasoro algebra, in: L. D. Faddeev, A. A. Mal’cev (eds.), Topology. Proceedings, Leningrad 1982. Lect. Notes in Math. 1060. Berlin, Heidelberg, New York Springer 1984
  [3]  Al. B. Zamolodchikov, Conformal symmetry in two dimensions: an explicit reccurence formula for the conformal partial wave amplitude, Commun. Math. Phys. 96 (1984) 419, PDF.
  [4]  V. A. Fateev, A. B. Zamolodchikov, Nonlocal (parafermionic) currents in the two-dimensional conformal quantum field theory and selfdual critical points in Z(n) invariant statistical systems, Sov. Phys. JETP 62 (1985) 215; ЖЭТФ 89 (1985) 380.
  [5]  V. G. Knizhnik, A. B. Zamolodchikov, Current algebra and Wess-Zumino model in two dimensions. Nucl. Phys. 247 (1984) 83, PDF.
  [6]  Vl. S. Dotsenko and V. A. Fateev, Four-point correlation functions and the operator algebra in 2d conformal invariant theories with central charge c<1, Nucl. Phys. B251 (1985) 691, PDF.

• Интегрируемые модели квантовой теории поля, уравнение треугольников, точные S-матрицы:

  Белавиным в 1979 году было получено точное решение SU(2) модели Тирринга [9]. В частности, решение включало разработку метода, известного сегодня как «иерархический анзац Бете». Решение Белавина послужило основой для знаменитого точного решения модели Кондо [10].

  [1]  A. B. Zamolodchikov, Exact two-particle S-matrix of quantum sine-Gordon solitons, Commun. Math. Phys., 55 (2), 183-186 (1977).
  [2]  A. B. Zamolodchikov, Al. B. Zamolodchikov, Factorized S-matrices in Two Dimensions as the Exact Solutions of Certain Relativistic Quantum Field Theory Models, Annals of Physics, 120 (2), 253-291 (1979).
  [3]  A. E. Arinshtein, V. A. Fateev, A. B. Zamolodchikov, Quantum S-matrix of the (1 + 1)-dimensional Todd chain, Phys. Lett. B 87 (4), 389-392 (1979).
  [4]  A. B. Zamolodchikov, Z4-symmetric factorized S-matrix in two space-time dimensions, Commun. Math. Phys., 69 (2), 165-178 (1979).
  [5]  А. Б. Замолодчиков, Высшие интегралы движения в двумерных моделях теории поля с нарушенной конформной симметрией, Письма в ЖЭТФ, 46 (4), 129-132 (1987).
  [6]  A. B. Zamolodchikov, Integrals of motion in scaling 3-state Potts-model field-theory, Int. J. Mod. Phys. A 3 (3), 743-750 (1988)
  [7]  A. B. Zamolodchikov, Integrable field theory from conformal field theory, Adv. Stud. Pure Math. 19, 641-674 (1989)
  [8]  A. B. Zamolodchikov, Integrals of motion and S-matrix of the (scaled) T=Tc Ising-model with magnetic-field, Int. J. Mod. Phys. A 4(16), 4235-4248 (1989).
  [9]  A. A. Belavin, Exact solution of the two-dimensional model with asymptotic freedom, Phys. Lett. B 87 (1-2), 117-121 (1979) PDF.
  [10]  П. Б. Вигман, Точное решение проблемы Кондо, Успехи физ. наук, 136 (3), 533-535 (1982).

• Решения уравнения Янга-Бакстера, квантовые группы:

  Современная теория интегрируемых систем включает в себя базовое понятие R-матрицы, которое определяет алгебру фундаментальных наблюдаемых в теории, или, в классическом пределе, соответствующую пуассонову структуру. R-матрица удовлетворяет знаменитому уравнению Янга-Бакстера. В 1980 году Белавиным были построены эллиптические решения этого уравнения [1]. В той же работе была обнаружена фундаментальная связь между классическими уравнениями Янга-Бакстера и теориями алгебры Ли. Классификация интегрируемых систем сводится к классификации решений этих уравнений. В квантовом случае проблема остается в значительной степени открытой, но в классическом пределе полное решение было найдено в работах Белавина и Дринфельда [2,3], где классификация классических R-матриц была задана в терминах простых алгебр Ли. Это открытие оказало глубокое влияние на дальнейшее развитие теории, включая последующее открытие представлений квантовых групп и янгианов.

  [1]  А. А. Белавин, Дискретные группы и интегрируемость квантовых систем, Функц. анализ и его прил., 14(4), 18-26 (1980).
  [2]  А. А. Белавин, В. Г. Дринфельд, О решениях классического уравнения Янга–Бакстера для простых алгебр Ли, Функц. анализ и его прил., 16(3), 1-29 (1982).
  [3]  А. А. Белавин, В. Г. Дринфельд, О классическом уравнении Янга–Бакстера для простых алгебр Ли, Функц. анализ и его прил., 17(3), 69-70 (1983)
  [4]  А. Б. Замолодчиков, В. А. Фатеев, Факторизованная S-матрица и интегрируемая цепочка Гейзенберга спинов единица, Ядерная физика, 32(2), 581-590 (1980).
  [5]  V. A. Fateev, A. B. Zamolodchikov, Self-dual solutions of the star-triangle relations in ZN-models, Phys. Lett. A 92 (1), 37-39 (1982).
  [6]  V. A. Fateev, A. B. Zamolodchikov, The exactly solvable case of a 2D lattice of plane rotators, Phys. Lett. A 92 (1), 35-36 (1982).

• Многопетлевые амплитуды в теории струн:

  В работе Белавина и Книжника [1] была рассмотрена мера Полякова на пространстве модулей замкнутых римановых поверхностей в теории бозонных струн в критической размерности D=26, исследуя голоморфную структуру многопетлевых амплитуд в теории струн. Вычисления, выходящие за рамки древесного приближения, включают в себя исследование сечений над пространствами модулей римановых поверхностей, причем подынтегральные выражения являются определенными функциональными детерминантами. Белавин и Книжник установили аналитическую структуру зависимости этих детерминантов на пространстве конформных модулей римановых поверхностей. Этот результат, широко известный как «теорема Белавина-Книжника», стал основой для струнных петлевых вычислений [2,3], а также породил волну новых исследований в математике.

  [1]  А. А. Белавин, В. Г. Книжник, Комплексная геометрия и теория квантовых струн, ЖЭТФ 91 (1986) 364.
  [2]  А. А. Белавин, В. Г. Книжник, A. Ю. Морозов, A. M. Переломов, Двух- и трехпетлевые амплитуды в теории бозонных струн, Письма в ЖЭТФ, 43 (7), 319-321 (1986).
  [3]  V. G. Knizhnik, Explicit expression for the two-loop measure in the heterotic string theory, Phys. Lett. B 194 (4), 473-476 (1987).

• Вычисление спектра аномальных размерностей в двумерной квантовой гравитации:
  [1]  V. G. Knizhnik, A. M. Polyakov, A. B. Zamolodchikov, Fractal structure of 2d quantum gravity, Mod. Phys. Lett. A3 (1988) 819.
  [2]  A. M. Polyakov, A. B. Zamolodchikov, Fractal structure of two dimensional supergravity, Mod. Phys. Lett. A 3(12), 1213-1219 (1988)

• Точное решение квантовой теории Лиувилля, интегрируемые структуры в конформной теории поля:
  [1]  A. B. Zamolodchikov, Al. B. Zamolodchikov, Structure constants and conformal bootstrap in Liouville field theory, Nucl. Phys. B477 (1996) 577 [arXiv:hep-th/9506136].
  [2]  V. V. Bazhanov, S. L. Lukyanov, A. B. Zamolodchikov, Integrable structure of conformal field theory, quantum KdV theory and Thermodynamic Bethe Ansatz, Commun. Math. Phys., 177 (2), 381-398 (1996); hep-th/9412229.
  [3]  V. V. Bazhanov, S. L. Lukyanov, A. B. Zamolodchikov, Integrable Structure of Conformal Field Theory II. Q-operator and DDV equation, Commun. Math. Phys., 190 (2), 247-278 (1997); hep-th/9604044.
  [4]  V.V. Bazhanov, S.L. Lukyanov, A.B. Zamolodchikov, Integrable structure of conformal field theory III. The Yang-Baxter relation, Commun. Math. Phys., 200 (2), 297-324 (1999); hep-th/9805008.
  [5]  A. B. Zamolodchikov, Al. B. Zamolodchikov, Liouville field theory on a pseudosphere, hep-th/0101152.
  [6]  V. V. Bazhanov, S. L. Lukyanov, A. B. Zamolodchikov, Spectral determinants for Schroedinger equation and Q-operators of conformal field theory, J. Stat. Phys., 102 (3-4), 567-576 (2001); hep-th/9812247.

• Термодинамический анзац Бете, конформная теория возмущений:
  [1]  Al. B. Zamolodchikov, Two-point correlation function in scaling Lee-Yang model. Nucl. Phys 348, 619-641 (1991).
  [2] 

• Высшие уравнения движения в квантовой теории Лиувилля и корреляционные числа в двумерной квантовой гравитации:
  [1]  A. A. Belavin, Al. B. Zamolodchikov, Moduli integrals and ground ring in minimal Liouville gravity, Письма в ЖЭТФ, 82 (1), 8-14 (2005)
  [2]  A. A. Belavin, A. B. Zamolodchikov, On Correlation Numbers in 2D Minimal Gravity and Matrix Models, J. Phys. A 42, 304004 (2009)

• АГТ соответствие и конформные блоки:
  [1]  V. A. Alba, V. A. Fateev, A. V. Litvinov, and G. M. Tarnopolsky, On combinatorial expansion of the conformal blocks arising from AGT conjecture, Lett. Math. Phys. 98 (2011) 33-64 [arXiv:1012.1312]
  [2]  A. A. Belavin, V. A. Belavin, AGT conjecture and integrable structure of conformal field theory for c=1, Nucl. Phys. B 850(1), 199-213 (2011).
  [3]  A. A. Belavin, M. A. Bershtein, G. M. Tarnopolsky, Bases in coset conformal field theory from AGT correspondence and Macdonald polynomials at the roots of unity, J. High Energy Phys., 1303, 019 (2013).