Курс посвящён изучению основных структур и методов комплексной геометрии с целью применения их в современной физике, в первую очередь в теории струн. Центральная часть курса – теория кэлеровых многообразий, теория Ходжа и элементарное введениие в теорию многообразий Калаби-Яу.
- Лекция 1: Комплексная структура, дифференциальные формы. Определение комплексной структуры на векторном пространстве. Напоминание понятия дифференцируемого многообразия и и дифференциальной формы.
- Лекция 2: Интегральное исчисление, формула Коши. Основные понятия и результаты одномерного и многомерного комплексного анализа. Интегральные теоремы Коши. Понятие аналитической и голоморфной функций.
- Лекция 3: Аналитические множества и гиперповерхности. Определение аналитического множества и аналитической гиперповерхности, как множнства общих нулей голоморфных функций. Понятие идеала в кольце голоморфных функций. Дифференциал. Мероморфные дифференциалы.
- Лекция 4: Комплексные многообразия, римановы поверхности. Комплексное многообразие, пучок функций на многообразии. Одномерное комплексное многообразие. Способы его задания. Риманова поверхность. Различие топологической и комплексной структур. Род римановой поверхности.
- Лекция 5: Римановы поверхности алгебраических функций, род римановой поверхности. Риманова поверхность алгебраической функции. Отображения римановых поверхностей. Теорема Гурвица. _Индекс пересечения. Голоморфные формы, голоморфные дифференциалы. Мероморфные дифференциалы. Геометрический род. Периоды. Билинейные соотношения Римана.
- Лекция 6: Почти комплексные структуры и комплексные структуры. Почти комплексные и комплексные структуры, связь между ними. Понятие интегрируемости. Теорема Фробениуса. Теорема Ньюландера-Ниренберга.
- Лекция 7: Формы метрики. Эрмитовы метрики. Метрики, связности, кривизна. Понятие почти комплексной структуры. Комплексная структура. Примеры комплексных структур Метрика Фубини-Штуди. Кэлеровы метрики.
- Лекция 8: Пучки, расслоения, связности. Голоморфное векторное расслоение. Операции над расслоениями. Группа Пикара. Понятие пучка.
- Лекция 9: Когомологии с коэффициентами в пучках. Когомологии с коэффициентами в пучке, когомологии Чеха. Экспоненциальная последовательность пучков. Длинная точная последовательность. Инварианты комплексного многообразия.
- Лекция 10: Деформации комплексных многообразий. Деформации комплексных многообразий. Понятие пространства модулей. Примеры пространств модулей. Пространство модулей в случае эллиптической кривой.
- Лекция 11: Теорема Ходжа, оператор Лапласа, гармонические формы. Оператор Лапласа на многообразии. Понятие гармонической формы. Теорема Ходжа. Операторы Ходжа и Лефшеца.
- Лекция 12: Кэлеровы многообразия и теория Ходжа, теоремы Лефшеца. Кэлеровы многообразия. Соотношения Ходжа, разложение Ходжа. Теоремы Лефшеца. Разложение Лефшеца. Кэлеровы тождества. Билинейные соотношения Ходжа-Римана.
- Лекция 13: Приложения в теории струн. Уравнения Янга-Миллса и голоморфный векторные расслоения. Оператор Дирака.
- Лекция 14: Многообразия Калаби-Яу. Условия Калаби-Яу. Торическая геометрия. Примеры многообразий Калаби-Яу. Модули многообразий Калаби-Яу.
- Лекция 15: Многообразия Калаби-Яу. Примеры. Зеркальная симметрия. Примеры зеркально симметричных многообразий Калаби-Яу. Зеркальная симметрия для квинтики.
Видео записи лекций: